Question

若二次函數f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函數,且它的值域為(-∞,4],則該函數的解析式f(x)=　　　.

Answer 1

-2x²+4

【思路點撥】化簡f(x),函數f(x)為偶函數,則一次項系數為0可求b.值域為(-∞,4],則最大值為4,可求2a²,即可求出解析式.
解：∵f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx²+(2a+ab)x+2a²是偶函數,則其圖象關于y軸對稱.
∴2a+ab=0,∴b=-2或a=0(舍去).
∴f(x)=-2x²+2a²,又f(x)的值域為(-∞,4],
∴2a²=4,f(x)=-2x²+4.