Question

如圖：在橢圓

x2

25

+

y2

16

=1中有一內接矩形ABCD（四個頂點都在橢圓上），A點在第一象限內．當內接矩形ABCD的面積最大時，點A的坐標是（　　）

• A．（

  5 2

  2

  ，2

  2

  ）
• B．（

  5

  2

  ，2）
• C．（

  2

  2

  ，

  2

  ）
• D．（1，

  8 6

  5

  ）

Answer 1

分析：先根據橢圓參數方程設出A點坐標，則橢圓

x2

25

+

y2

16

=1的內接矩形ABCD的面積可用A點坐標表示，就把矩形ABCD的面積用含參數θ的式子表示，再利用正弦函數的有界性判斷θ為何值時，面積有最大值．

解答：解：∵A點在橢圓

x2

25

+

y2

16

=1上，∴可設A（5cosθ，4sinθ）
∴矩形ABCD的面積為4×（5cosθ）（4sinθ）=80cosθsinθ=40sin2θ
∵sin2θ≤1，且當2θ=

π

2

時等號成立，
∴40sin2θ≤40，且當2θ=

π

2

時等號成立，
∴當2θ=

π

2

，即θ=

π

4

時，橢圓

x2

25

+

y2

16

=1的內接矩形ABCD面積有最大值，此時A（

5 2

2

，2

2

）
故選A

點評：本題主要考查橢圓的參數方程在求最值時的應用，其中結合了三角函數的有界性，屬于綜合題．