Question

已知拋物線，點，過的直線交拋物線于兩點.

（1）若，拋物線的焦點與中點的連線垂直于軸，求直線的方程；

（2）設為小于零的常數，點關于軸的對稱點為，求證：直線過定點

 

Answer 1

（1）；（2）參考解析

【解析】

試題分析：（1）由題意可得通過假設直線方程聯立拋物線方程，消去y可得一個一元二次方程，通過韋達定理寫出根與系數的關系.由中點的橫坐標等于拋物線的焦點坐標的橫坐標可解出直線的斜率k的值.即可求出直線方程.

（2）由直線方程與拋物線的方程聯立可得，關于點A,B的坐標關系，從而得到的坐標，寫出直線B的方程.由于其中含有A,B的坐標值，通過整理成為的形式即可知道，直線恒過定點.

試題解析：（1）【解析】
由已知，拋物線的焦點坐標為.

設過點的直線的方程為，

由 得.

設，，則.

因為與中點的連線垂直于軸，所以，即.

解得 ，.

所以，直線的方程為.

（2）證明：設直線的方程為.

由 得，

則，且，即，且.

.

因為關于軸對稱，所以，直線，

又 ，，所以，

所以 .

因為 ，又同號，，

所以 ，

所以直線的方程為，

所以，直線恒過定點.

考點：1.直線與拋物線的關系.2.對稱性的問題.3.解方程的能力.4.過定點的問題.