Question

若函數f（x）=cosx+|sinx|（x∈[0，2π]）的圖象與直線y=k有且僅有四個不同的交點，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據x的范圍分兩種情況，利用絕對值的代數意義化簡|sinx|，然后利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值把函數解析式化為一個角的正弦函數，根據x的范圍分別求出正弦對應角的范圍，畫出相應的圖象，根據題意并且結合正弦圖象可得出k的范圍．

解答：解：當x∈[0，π]時，|sinx|=sinx，
所以y=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
當x∈（π，2π）時，|sinx|=-sinx，
所以y=-sinx+cosx=

2

sin（

π

4

-x），
根據解析式畫出分段函數圖象，如圖所示：

根據圖象可得k的范圍為：1≤k＜

2

．
故答案為：1≤k＜

2

．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，絕對值的代數意義，以及正弦函數的圖象，利用了數形結合的思想．根據x的范圍化簡|sinx|，再利用三角函數的恒等變換得到一個角的正弦函數，從而確定出分段函數的解析式，在坐標系中畫出相應的分段函數圖象是解本題的關鍵．