Question

定義在[-1，1]上的奇函數f（x）滿足f（1）=2，且當a，b∈[-1，1]，a+b≠0時，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）試問函數f（x）的圖象上是否存在兩個不同的點A，B，使直線AB恰好與y軸垂直，若存在，求出A，B兩點的坐標；若不存在，請說明理由并加以證明．
（2）若

1

2

f(x)≤m2+2am+1對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）假設函數f（x）的圖象上存在兩個不同的點A，B，使直線AB恰好與y軸垂直，推出函數f（x）在[-1，1]上是增函數，這與假設矛盾，可得假設不成立，命題得證．
（2）由題意可得函數f（x）的最大值小于或等于2（m²+2am+1），即m²+2am≥0．令關于a的一次函數g（a）=m²+2am，則有

g(-1)=m2-2m≥0 g(1)= m2+2m≥0

，由此求得m的范圍．

解答：解：（1）假設函數f（x）的圖象上存在兩個不同的點A，B，使直線AB恰好與y軸垂直，
則A、B兩點的縱坐標相同，設它們的橫坐標分別為 x₁ 和x₂，且x₁＜x₂．
則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁ ）+f（-x₂）=

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

[x₁+（-x₂）]．
由于

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＞0，且[x₁+（-x₂）]＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
故函數f（x）在[-1，1]上是增函數．
這與假設矛盾，故假設不成立，即 函數f（x）的圖象上不存在兩個不同的點A，B，使直線AB恰好與y軸垂直．
（2）由于

1

2

f(x)≤m2+2am+1對所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
∴故函數f（x）的最大值小于或等于2（m²+2am+1）．
由于由（1）可得，函數f（x）是[-1，1]的增函數，故函數f（x）的最大值為f（1）=2，
∴2（m²+2am+1）≥2，即 m²+2am≥0．
令關于a的一次函數g（a）=m²+2am，則有

g(-1)=m2-2m≥0 g(1)= m2+2m≥0

，
解得 m≤-2，或m≥2，或 m=0，故所求的m的范圍是{m|m≤-2，或m≥2，或 m=0}．

點評：本題主要考查用反證法證明數學命題，函數的恒成立問題，體現了轉化的數學而思想，屬于中檔題．