Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2

3

，AA₁=2
（1）判斷AB與A₁C₁的位置關系；
（2）求AB與A₁C₁的夾角
（3）求AD與B₁C的夾角．

Answer 1

分析：（1）根據異面直線的定義結合長方體的性質，可得AB與A₁C₁的位置關系是異面；
（2）根據AB∥A₁B₁得∠B₁A₁C₁就是異面直線AB與A₁C₁的所成角，Rt△B₁A₁C₁中，由A₁B₁=B₁C₁=2

3

得
△B₁A₁C₁是等腰直角三角形，由此即可得到異面直線AB與A₁C₁的所成角；
（3）由AD∥B₁C₁，得到∠CB₁C₁就是異面直線AD與B₁C的所成角．Rt△B₁CC₁中，結合題中數據算出tan∠CB₁C₁=

CC1

B1C1

=

3

，即可得到異面直線AB與A₁C₁的所成角為60°．

解答：解：（1）∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥A₁B₁
而A₁C₁與A₁B₁是相交直線
∴AB與A₁C₁的位置關系是異面；
（2）由（1）得∠B₁A₁C₁就是異面直線AB與A₁C₁的所成角
∵Rt△B₁A₁C₁中，A₁B₁=B₁C₁=2

3

，
∴∠B₁A₁C₁=45°，即異面直線AB與A₁C₁的所成角為45°；
（3）∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD∥B₁C₁，
∴∠CB₁C₁就是異面直線AD與B₁C的所成角
∵Rt△B₁CC₁中，B₁C₁=2

3

，CC₁=AA₁=2
∴tan∠CB₁C₁=

CC1

B1C1

=

3

，
可得∠CB₁C₁=60°，即異面直線AB與A₁C₁的所成角為60°．

點評：本題給出長方體，求異面直線所成角．著重考查了長方體的性質、異面直線的定義及異面直線所成角的求法等知識，屬于基礎題．