Question

（12分）已知數列的前項和為,且對一切正整數都成立.
(1)求,的值;
(2)設,數列的前項和為,當為何值時,最大?并求出的最大值.

Answer 1

（1） 
(2),n=7時,T_n取得最大值,且T_n的最大值為 T₇= 

(1)令n=1則
再令n=2可得然后兩方程聯立可解得,的值.
(2)在（1）的基礎上，可知
再根據 , (2+)a_n-1=S₂+S_n-1
所以a_n= ,
據此可知{a_n}是等比數列，因而,
所以,所以可知數列{b_n}是以為公差,且單調遞減的等差數列.然后根據b_n>0可解出n的范圍，從而確定T_n的最大值.
取n=1,得    ①
取n=2,得    ②
又②-①,得       ③
(1)若a₂="0," 由①知a₁=0, 
(2)若a_2,   ④
由①④得: 
(2)當a₁>0時,由(I)知, 
當 , (2+)a_n-1=S₂+S_n-1
所以,a_n= 
所以 
令 
所以,數列{b_n}是以為公差,且單調遞減的等差數列.
則 b₁>b₂>b₃>>b₇= 
當n≥8時,b_n≤b₈= 
所以,n=7時,T_n取得最大值,且T_n的最大值為
T₇=