Question

已知平面區域D由以A（1，3），B（5，2），C（3，1）為頂點的三角形內部以及邊界組成．若在區域D上有無窮多個點（x，y）可使目標函數z=x+my取得最小值，則m=（　　）

• A、-2
• B、-1
• C、1
• D、4

Answer 1

分析：將目標函數z=x+my化成斜截式方程后得：y=-

1

m

x+

1

m

z，若m＞0時，目標函數值Z與直線族：y=-

1

m

x+

1

m

z截距同號，當直線族y=-

1

m

x+

1

m

z的斜率與直線AC的斜率相等時，目標函數z=x+my取得最小值的最優解有無數多個；若m＜0時，目標函數值Z與直線族：y=-

1

m

x+

1

m

z截距異號，當直線族y=-

1

m

x+

1

m

z的斜率與直線BC的斜率相等時，目標函數z=x+my取得最小值的最優解有無數多個，但此時是取目標函數取最大值的最優解為無數個，不滿足條件．

解答：解：依題意，滿足已知條件的三角形如下圖示：
令z=0，可得直線x+my=0的斜率為-

1

m

，
結合可行域可知當直線x+my=0與直線AC平行時，
線段AC上的任意一點都可使目標函數z=x+my取得最小值，
而直線AC的斜率為

1-3

3-1

=-1，
所以-

1

m

=-1，解得m=1，
故選C．

增加網友的解法，相當巧妙值得體會！請看：
依題意，1+3m=5+2m＜3+m，或1+3m=3+m＜5+2m，或3+m=5+2m＜1+3m
解得 m∈空集，或m=1，或m∈空集，
所以m=1，選C．
評析：此解法妙在理解了在邊界處取到最小值這個命題的內蘊，區域的三個頂點中一定有兩個頂點的坐標是最優解，故此兩點處函數值相等，小于第三個頂點處的目標函數值，本題略去了判斷最優解取到位置的判斷，用三個不等式概括了三種情況，從而解出參數的范圍，此方法可以在此類求參數的題中推廣，具有一般性！

點評：目標函數的最優解有無數多個，處理方法一般是：①將目標函數的解析式進行變形，化成斜截式；②分析Z與截距的關系，是符號相同，還是相反；③根據分析結果，結合圖形做出結論④根據斜率相等求出參數．