Question

設雙曲線C：（a>0，b>0）的一個焦點坐標為（，0），離心率， A、B是雙曲線上的兩點，AB的中點M（1，2）.
（1）求雙曲線C的方程；
（2）求直線AB方程；
（3）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線交于C、D兩點，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什么？

Answer 1

(1) (2)  （3）是，理由見解析

解析試題分析：
(1)根據題意已知,則利用雙曲線a,b,c之間的關系與離心率的定義即可求出的值,進而得到雙曲線的標準方程.
(2)根據題意可得AB為雙曲線的一條弦,要求弦所在直線,還需要斜率,可以采用點差法利用弦的中來求解弦的斜率,已知了弦所在直線的斜率與弦上的中點坐標,再利用直線的點斜式即可求出弦所在直線的方程.
(3)由(2)可得AB直線的方程,聯立直線AB與雙曲線的方程消元解二次方程即可得到A,B兩點的坐標,已知AB線段的斜率與中點即可求的AB垂直平分線的直線方程,聯立垂直平分線與雙曲線的方程消元解二次方程即可求的CD兩點的坐標.
試題解析：
（1）依題意得，解得a=1.                         （1分）
所以，                                    （2分）
故雙曲線C的方程為.                                  （3分）
（2）設，則有 .
兩式相減得： ，             （4分）
由題意得，，，                     （5分）
所以，即.                         （6分）
故直線AB的方程為.                                     （7分）
（3）假設A、B、C、D四點共圓，且圓心為P. 因為AB為圓P的弦，所以圓心P在AB垂直平分線CD上；又CD為圓P的弦且垂直平分AB，故圓心P為CD中點M. （8分）
下面只需證CD的中點M滿足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|即可.
由得：A（-1，0），B（3，4）.                         （9分）
由（1）得直線CD方程：，                             （10分）
由得：C（-3+，6-），D（-3-，6+），  （11分）
所以CD的中點M（-3，6）.                                      （12分）
因為，，
，，            （13分）
所以，
即 A、B、C、D四點在以點M（-3，6）為圓心，為半徑的圓上.  （14分）
考點：雙曲線 直線與圓錐曲線 弦長 共圓