Question

解關于x的方程．
（1）log_（x+a）2x=2．
（2）log₄（3-x）+log_0.25（3+x）=log₄（1-x）+log_0.25（2x+1）；
（3）(

3+2 2

)x+(

3-2 2

)x=6；
（4） lg（ax-1）-lg（x-3）=1．

Answer 1

分析：利用等價轉化思想將這些方程都轉化為與之等價的代數方程，通過求解代數方程達到求解該方程的目的．注意對數中真數大于零的特點．
（1）要注意對數式與指數式的轉化關系；
（2）利用對數運算性質進行轉化變形；
（3）注意到兩項的聯系，利用整體思想先求出整體，進一步求出方程的根；
（4）利用對數的運算性質進行轉化與變形是解決本題的關鍵．注意對字母的討論．

解答：解：（1）該方程可變形為2x=（x+a）²，即x=1-a±

1-2a

（當a≤

1

2

時），當x=1-a-

1-2a

時，x+a=1-

1-2a

＜0，故舍去．因此該方程的根為x=1-a+

1-2a

（當a≤

1

2

時），當a＞

1

2

時，原方程無根．
（2）該方程可變形為log₄

3-x

3+x

=log₄

1-x

2x+1

，即

3-x

3+x

=

1-x

2x+1

，整理得x²-7x=0，解出x=0或者x=7（不滿足真數大于0，舍去）．故該方程的根為x=0．
（3）該方程變形為(

( 2 +1)2

)x+(

( 2 -1)2

)x=6，即(

2

+1)x+(

2

-1)x=6，令t=(

2

+1)x，則可得出t+

1

t

=6，解得t=3±2

2

=(

2

±1)2，因此x=±2．該方程的根為±2．
（4）原方程等價于

ax-1＞0 x-3＞0 ax-1 x-3 =10

，由

ax-1

x-3

=10得出ax-1=10x-30，該方程當a=10時沒有根，當a≠10時，x=

-29

a-10

，要使得是原方程的根，需滿足ax-1＞0，且x-3＞0．解出a∈（

1

3

，10）．因此當a∈（

1

3

，10）時，原方程的根為x=

-29

a-10

，當a∈（-∞，

1

3

]∪[10，+∝）時，原方程無根．

點評：本題考查代數方程的求解，注意方程的等價變形，注意對數形式方程的真數大于零的特征，注意對所求的根進行檢驗，對含字母的方程要注意討論．