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已知P是正方形ABCD平面外一點，M、N分別是PA、BD上的點，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.求證：直線MN∥平面PBC.

證明：

在BC上取點E，使,于是.∴MN∥平面PBC.

啟示：用向量知識解題，一般不需要作輔助線，只是利用向量運算及基本定理，把要證的向量用該平面內的向量表示.

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點，F為AD的中點．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點M是四邊形ABCD內的一動點，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，M，N分別為AD，PB的中點，且PD⊥底面ABCD，其中PD=AD=a．
（1）求證：MN⊥平面PBC；
（2）求MN與平面ABC所成的角；
（3）求四面體P-MBC的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）如圖1，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中點．求證：AE⊥PD．
（2）如圖2，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4．求證：平面BDE⊥平面BEC．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓

=1（a＞b＞0）的上下焦點分別為F₁，F₁，短軸兩個端點為P，P₁，且四邊形F₁PF₂P₁是邊長為2的正方形．
（1）求橢圓方程；
（2）設△ABC，AC=2

，B為橢圓

=1（a＞b＞0）在x軸上方的頂點，當AC在直線y=-1上運動時，求△ABC外接圓的圓心Q的軌跡E的方程；
（3）過點F（0，

）作互相垂直的直線l₁l₂，分別交軌跡E于M，N和R，Q．求四邊形MRNQ的面積的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面ABB₁A，ACC₁A₁均為正方形，∠BAC=90°，AB=2，點D₁是棱B₁C₁的中點．
（I）求證：A₁D₁⊥平面BB₁C₁C；
（II）已知線段A₁B₁上的一點P，滿足直線AP與平面A₁D₁C所成角的正弦值為

，求

A1P

A1B1

的值．

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