Question

函數f（x）對一切實數x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1），且f（1）=0，
（1）求f（0）；
（2）求函數解析式；
（3）當x∈[-2，2]時，f（x）-ax不是單調函數，
①求a的取值范圍；
②記f（x）-ax的最小值為g（a），求g（a）的最大值．

Answer 1

分析：（1）令x=-1，y=1，利用f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1），即可求得f（0）的值；
（2）令y=0，則f（x）-f（0）=x（x+1），結合f（0）=-2，可求f（x）的解析式；
（3）由（2）可得f（x）-ax的解析式，結合x∈[-2，2]時，f（x）-ax不是單調函數，可得函數圖象的對稱軸位于開區間（-2，2）上，由此構造不等式，可解得a的取值范圍，進而結合二次函數的圖象和性質，求出函數的最小值g（a）的表達式，得到答案．

解答：解：（1）令x=-1，y=1，則
∵f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）
∴f（0）-f（1）=-1（-1+2+1）
∴f（0）=-2
（2）令y=0，則f（x）-f（0）=x（x+1）
又∵f（0）=-2
∴f（x）=x²+x-2
（3）①∵f（x）-ax=x²+（1-a）x-2
且x∈[-2，2]時，f（x）-ax不是單調函數
∴-2＜

a-1

2

＜2
解得：-3＜a＜5
②∵f（x）-ax的最小值為g（a），
∴g（a）=

4×1×(-2)-(1-a)2

4

=-

1

4

（a-1）²-2，
由①中-3＜a＜5可得
當a=1時g（a）取最大值-2

點評：本題以抽象函數為載體，考查賦值法的運用，考查恒成立問題，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的圖象和性質