Question

（本小題滿分12分）如圖，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，分別為，，的中點，，．
（1）設是的中點，證明：平面；
（2）在內是否存在一點，使平面，若存在，請找出點M，并求FM的長；若不存在，請說明理由。

Answer 1

證明：（1）見解析；（2）。

本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，其中建立適當的坐標系，將線面平行及線面垂直問題，轉化為向量夾角問題是解答本題的關鍵．本題綜合較強，難度較大．
（I）連接OP，以O為坐標原點，分別以OB、OC、OP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，分別求了各點對應的坐標，求出直線FG的方向向量和平面BOE的法向量，判斷兩個向量的關系，即可得到FG∥平面BOE；
（II）設點M的坐標為（x₀，y₀，0），則我們易求出直線FM的方向向量，由FM⊥平面BOE求出滿足條件的M點的坐標，并與△ABO內部表示的平面區域對應的約束條件進行比照，即可得到答案．
證明：（1）取PE中點H，連結FH，GH，
∵ F，G分別為PB，OC中點，∴FH//BE，GH//EO，
∵，， ，
∴，∵，∴。  …………5分
（2）∵是以為斜邊的等腰直角三角形，且O為AC中點，∴，
又∵平面平面， ，，
∴。
，所以，
∵，∴，
，連結FM，因為點F為PB中點，
則，進而，。
                                                 …………12分