Question

已知拋物線C：y²＝2px(p＞0)的焦點為F，拋物線C與直線l₁：y＝－x的一個交點的橫坐標為8.
(1)求拋物線C的方程；
(2)不過原點的直線l₂與l₁垂直，且與拋物線交于不同的兩點A、B，若線段AB的中點為P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面積．

Answer 1

（1）y²＝8x.（2）24

(1)易知直線與拋物線的交點坐標為(8，－8)，∴8²＝2p×8，∴2p＝8，∴拋物線方程為y²＝8x.
(2)直線l₂與l₁垂直，
故可設l₂：x＝y＋m，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，且直線l₂與x軸的交點為M.
由得y²－8y－8m＝0，Δ＝64＋32m＞0，∴m＞－2.
y₁＋y₂＝8，y₁y₂＝－8m，∴x₁x₂＝＝m².
由題意可知OA⊥OB，即x₁x₂＋y₁y₂＝m²－8m＝0，∴m＝8或m＝0(舍)，
∴l₂：x＝y＋8，M(8,0)，
故S_△FAB＝S_△FMB＋S_△FMA＝|FM|·|y₁－y₂|＝3＝24.?