Question

如圖正方形ABCD和四邊形ADEF所在的平面垂直，FA⊥AD，DE∥FA，且AD=DE=

1

2

AF=1，G是FC的中點．
（1）求證：EG⊥平面ACF；
（2）求多面體ABCDEF的體積．

Answer 1

分析：（1）取AF中點H，連接GH，EH，由正方形ABCD和四邊形ADEF所在的平面垂直，FA⊥AD，DE∥FA，且AD=DE=

1

2

AF=1，G是FC的中點，得到EH=AH=FH=CD=DE=1，EH⊥AF，ED⊥CD，GH∥AC，CE=EF=AC=

2

，GH=

2

2

，故EG⊥CF，再由EG²+GH²=EH²，知EG⊥GH，由此能夠證明EG⊥平面ACF．
（2）連接FD，則多面體ABCDEF的體積：V_ABCDEF=V_F-CDE+V_F-ABCD，由V_F-CDE=

1

3

×AD×S△CDE，V_F-ABCD=

1

3

×AF×S正方形ABCD，能求出多面體ABCDEF的體積．

解答：解：（1）取AF中點H，連接GH，EH，
∵正方形ABCD和四邊形ADEF所在的平面垂直，
FA⊥AD，DE∥FA，且AD=DE=

1

2

AF=1，G是FC的中點，
∴EH=AH=FH=CD=DE=1，EH⊥AF，ED⊥CD，GH∥AC，
∴CE=EF=AC=

1+1

=

2

，GH=

1

2

AC=

2

2

，
∴EG⊥CF，
∵FC=

AF2+AC2

=

4+2

=

6

，
∴EG=

EF2-FG2

=

2- 3 2

=

2

2

，
∵EH=1，∴EG²+GH²=EH²，
∴EG⊥GH，
又∵CF∩GH=G，
∴EG⊥平面ACF．
（2）連接FD，則多面體ABCDEF的體積：
V_ABCDEF=V_F-CDE+V_F-ABCD
=

1

3

×AD×S△CDE+

1

3

×AF×S正方形ABCD
=

1

3

×1×

1

2

×1×1+

1

3

×2×12
=

1

6

+

2

3

=

5

6

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查多面體體積的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意中位線、勾股定理、等積法等知識點的合理運用．