Question

如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=CD，E是PC的中點．
（1）證明PA∥平面BDE；
（2）求二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值；
（3）在棱PB上是否存在點F，使PB⊥平面DEF？證明你的結論．

Answer 1

解：（1）以D為坐標原點，分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設PD=CD=2，則A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），
所以=（2，0，﹣2），=（0，1，1），=（2，2，0）．
設=（x，y，z）是平面BDE的一個法向量，
則由，得；
取=﹣1，則=（1，﹣1，1），
∴=2﹣2=0，
∴⊥，
又PA平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）由（1）知=（1，﹣1，1）是平面BDE的一個法向量，
又==（2，0，0）是平面DEC的一個法向量．
設二面角B﹣DE﹣C的平面角為θ，
由圖可知θ=＜，＞，
∴cosθ=cos＜，＞===，
故二面角B﹣DE﹣C余弦值為．
（3）∵=（2，2，﹣2），=（0，1，1），
∴·=0+2﹣2=0，
∴PB⊥DE．
假設棱PB上存在點F，使PB⊥平面DEF，
設=λ（0＜λ＜1），
則=（2λ，2λ，﹣2λ），=+=（2λ，2λ，2﹣2λ），
由=0得4λ²+4λ²﹣2λ（2﹣2λ）=0，
∴λ=∈（0，1），
此時PF=PB，即在棱PB上存在點F，PF=PB，使得PB⊥平面DEF．