Question

如圖，△ABC是一塊邊長(zhǎng)AB=3m，AC=5m，BC=7m的剩余角料．現(xiàn)要從中裁剪出一塊面積最大的平行四邊形用料APQR，要求頂點(diǎn)P，Q，R分別在邊AB，BC，CA上．問(wèn)點(diǎn)Q在BC邊上的什么位置時(shí)，剪裁符合要求？并求這個(gè)最大值．

Answer 1

分析：先利用正弦定理，求出PQ，RQ，再表達(dá)出平行四邊形的面積，從而求出面積的最大值．

解答：解：設(shè)BQ=x，則CQ=7-x，且0＜x＜7．
由余弦定理，得A=120°，cosB=

11

14

，cosC=

13

14

，
∴sinB=

5 3

14

，sinC=

3 3

14

．
在△PQB中，由正弦定理，得PQ=

xsinB

sin120°

．
在△RQC中，由正弦定理，得RQ=

(7-x)sinC

sin120°

．
∴S?APQR=PQ•RQ•sin120°=

x(7-x)sinBsinC

sin120°

=

15 3

98

x（7-x），當(dāng)x=

7

2

時(shí)，取最大值

15 3

8

．
故當(dāng)Q是BC中點(diǎn)時(shí)，平行四邊形APQR面積最大，最大面積為

15 3

8

米．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理得運(yùn)用，及利用二次函數(shù)（或基本不等式）求最值，屬于中檔題．