Question

【題目】已知函數f（x）的定義域是（0，+∞），且滿足f（xy）=f（x）+f（y），當x＞1時，有f（x）＞0．
（1）求f（1），判定并證明f（x）的單調性；
（2）若f（2）=1，解不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．

f（x）在（0，+∞）上的是增函數，

設x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，則 ＞1，

∴f（ ）＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）=f（x2 ）﹣f（x2）=f（ ）＞0，

即f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在（0，+∞）上的是增函數

（2）解：∵f（2）=1，∴f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2，

可化為f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2f（2）．

∴f（﹣x）+f（2）+f（3﹣x）+f（2）≥0，

∴f（﹣2x）+f（6﹣2x）≥f（1），

∴f[﹣2x（6﹣2x）]≥f（1），

∴ ，

∴x≤ ．

∴不等式的解集為{x|x≤ }

【解析】（1）利用賦值法進行求f（1）的值； 根據函數的單調性的定義判斷f（x）在（0，+∞）上的單調性，并證明．（2）根據函數單調性的性質解不等式即可．
【考點精析】本題主要考查了函數單調性的判斷方法的相關知識點，需要掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較才能正確解答此題．