Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+kx²+5x+1，g（x）=-lnx+kx，其中k∈R．
（Ⅰ）當(dāng)k=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）=0在區(qū)間（1，2）上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)q(x)=

f(x)，x≤0 g(x)，x＞0

，是否存在正實(shí)數(shù)k，使得對(duì)于函數(shù)q（x）上任一點(diǎn)（橫坐標(biāo)不為0），總能找到另外惟一一點(diǎn)使得在這兩點(diǎn)處切線的斜率相等？若存在，求k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再令導(dǎo)函數(shù)為零，解得函數(shù)極值點(diǎn)，最后用單調(diào)性進(jìn)行驗(yàn)證即可
（Ⅱ）先判斷函數(shù)的連續(xù)性，再利用零點(diǎn)存在性理論，解不等式即可
（Ⅲ）先求出函數(shù)q(x)=

f(x)，x≤0 g(x)，x＞0

兩段上的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，研究導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值，再畫(huà)出導(dǎo)函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題

解答：解：（Ⅰ）對(duì)函數(shù)f（x）=-x³+kx²+5x+1求導(dǎo)，得，f′（x）=-3x²+2kx+5，
當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)f（x）=）=-x³+x²+5x+1，f′（x）=-3x²+2x+5，
令f′（x）=0，即-3x²+2x+5=0，解得，x=-1或x=

5

3

，
當(dāng)x∈（-∞，-1）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（-1，

5

3

）時(shí)，f′（x）＜0
當(dāng)x∈（

5

3

，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，
∴當(dāng)x=-1函數(shù)f（x）有極小值為f（-1）=-2
當(dāng)x=

5

3

函數(shù)f（x）有極大值為f（

5

3

）=

202

27

（Ⅱ）∵f（x）=-x³+kx²+5x+1為（1，2）上的連續(xù)函數(shù)，
∴f（x）=0在區(qū)間（1，2）上有解?f（1）×f（2）＜0
由f（1）×f（2）=（-1+k+6）（-8+4k+11）=（k+5）（4k+3）＜0
得-5＜k＜-

3

4

∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為-5＜k＜-

3

4

（Ⅲ）
∵f′（x）=-3x²+2kx+5，g′（x）=

kx-1

x

∵k＞0，兩個(gè)導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖
由圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)k=5時(shí)，函數(shù)q（x）上任一點(diǎn)（橫坐標(biāo)不為0），總能找到另外惟一一點(diǎn)使得在這兩點(diǎn)處切線的斜率相等，
∴k=5

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考察了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，特別是函數(shù)極值的求法和導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，解題時(shí)要靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，提高解題效率