Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=

3

，BC=a，又PA⊥平面ABCD，PA=4．
（1）若在邊BC上存在點Q，且使得PQ⊥QD，求a的取值范圍；
（2）當BC邊上存在唯一點Q，使PQ⊥QD時，求異面直線AQ與PD所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）分別以AD、AB、AP所在直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標系．可得B、C、D、P各點的坐標，設(shè)Q的坐標為（t，

3

，0），可得

PQ

、

DQ

關(guān)于a、t的坐標，由

PQ

•

DQ

=0，建立關(guān)于a、t的關(guān)系式得t²-at+3=0，由根的判別式即可解出實數(shù)a的范圍；
（2）根據(jù)點Q唯一，結(jié)合（1）的結(jié)論得a=2

3

且t=

3

，由此可得

AQ

、

PD

的坐標，利用空間向量的夾角公式算出cos＜

AQ

，

PD

＞=

42

14

，即可得到異面直線AQ與PD所成角的大小．

解答：解：（1）分別以AD、AB、AP所在直線為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示
則B（0，

3

，0），C（a，

3

，0），D（a，0，0），
P（0，0，4）
設(shè)Q（t，

3

，0），可得

PQ

=（t，

3

，-4），

DQ

=（t-a，

3

，0）
∵PQ⊥DQ，∴

PQ

•

DQ

=t（t-a）+3=0，即t²-at+3=0
因此，△=a²-12≥0，解之得a≥2

3

；
（2）∵邊BC上存在唯一的點Q，使得PQ⊥QD，
∴由（1）得a=2

3

，t=

3

可得Q（

3

，

3

，0），

AQ

=（

3

，

3

，0），

PD

=（2

3

，0，-4）
∴cos＜

AQ

，

PD

＞=

AQ • PD

|AQ| • |PD|

=

6

6 •2 7

=

42

14

因此，異面直線AQ與PD所成角的大小為arccos

42

14

．

點評：本題給出底面為矩形的線面垂直的幾何體，探索滿足條件的線線垂直并依此求異面直線所成角．著重考查了利用空間向量研究線線垂直和求異面直線所成角的大小等知識，屬于中檔題．