Question

四棱錐P-ABCD的頂點P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三視圖如圖
（1）根據圖中的信息，在四棱錐P-ABCD的側面、底面和棱中，請把符合要求的結論填寫在空格處（每空只要求填一種）
①一對互相垂直的異面直線

PA⊥BC，或PA⊥CD

；
②一對互相垂直的平面

平面PAD⊥平面ABCD，或平面PAD⊥平面ABCD

；
③一對互相垂直的直線和平面

PA⊥平面ABCD，或AB⊥平面PAD

；
（2）計算四棱錐P-ABCD的表面積．

Answer 1

分析：（1）由四棱錐P-ABCD的頂點P在底面ABCD中的投影恰好是A，我們易得PA是棱錐的高，由此作出這個四棱錐的圖形，能求出結果．
（2）由三視圖我們易得底面邊長，及棱錐的高均為a，由此我們易求出各棱的長，進而求出各個面的面積，進而求出四棱錐P-ABCD的表面積．

解答：解：（1）∵四棱錐P-ABCD的頂點P在底面ABCD中的投影恰好是A，
∴PA是棱錐的高，由此作出四棱錐，
由圖形知：①PA⊥BC，或PA⊥CD；
②平面PAD⊥平面ABCD，或平面PAD⊥平面ABCD；
③PA⊥平面ABCD，或AB⊥平面PAD．
故答案為：①PA⊥BC，或PA⊥CD；②平面PAD⊥平面ABCD，或平面PAD⊥平面ABCD；③PA⊥平面ABCD，或AB⊥平面PAD．
（2）由三視圖可得，三角形ABP的面積等于三角形ADP的面積且為

1

2

a²，
三角形BPC的面積等于三角形CDP的面積且為

2

2

a²，
正方形ABCD的面積為a²，
側面積為：S_△PAB+S_△PBC+S_△PCD+S_△PAD=2×

1

2

×a2+2×

1

2

×a×

2

a=（1+

2

）a²
所以可得四棱錐P-ABCD的表面積為（2+

2

）a²．

點評：本題考查的知識點由三視圖求表面積，根據三視圖及已知求出棱錐各棱長的長度，進而求出各面的面積，是解答本題的關鍵．