Question

已知正方形AP₁P₂P₃的邊長為4，點(diǎn)B，C分別是邊P₁P₂，P₂P₃的中點(diǎn)，沿AB，BC，CA折疊成一個(gè)三棱錐P-ABC（使P₁，P₂，P₃重合于P），則三棱錐P-ABC的外接球表面積為（　　）

A．24π

B．12π

C．8π

D．4π

Answer 1

分析：因?yàn)檎郫B后的三棱錐的側(cè)面PAB、側(cè)面PBC、側(cè)面PCA都是直角三角形，可得PA、PB、PC兩兩互相垂直，由球的幾何性質(zhì)得外接球的直徑2R=

PA2+PB2+PC2

=2

6

，從而半徑R=

6

，結(jié)合球的表面積公式，可得P-ABC的外接球表面積．

解答：解：根據(jù)題意，得折疊后的三棱錐P-ABC中，側(cè)面PAB、側(cè)面PBC、側(cè)面PCA都是直角三角形，
∴PA、PB、PC兩兩互相垂直，

∵PA=4，PB=PC=2
∴三棱錐P-ABC的外接球的直徑為：2R=

PA2+PB2+PC2

=

42+22+22

=2

6

∴外接球的半徑為R=

6

，可得三棱錐P-ABC的外接球表面積為S=4πR²=24π
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題給出由正方形折疊成的三棱錐，求其外接球的表面積，著重考查了球的幾何性質(zhì)和表面積公式等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．