Question

（2012•浙江模擬）已知各項均為非負實數的數列{a_n}，{b_n}滿足：對任意正整數n，都有a_n，b_n，a_n+1成等差數列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數列，且a₁=0，b₁=1．
（I）求證：數列{

bn

}是等差數列；
（II） 設Sn=

1

a2

+

1

a3

+…

1

an

，Tn=

1

b1

+

1

b2

+…

1

bn

，當n≥2，n∈N時，試比較

7

5

Sn與T_n的大�。�

Answer 1

分析：（I）由已知，得2b_n=a_n+a_n+1，an+12=bn•bn+1，故an+1=

bnbn+1

，所以2b_n=

bn-1bn

+

bnbn+1

，由此能夠證明{

bn

}是等差數列．
（II）由a₁=0，b₁=1，得a₂=2，b₂=4，a₃=6，b₃=9，由{

bn

}是等差數列，得bn=n2，由此入手能夠證明

7

5

Sn＜T_n．

解答：解：（I）∵a_n，b_n，a_n+1成等差數列，
∴2b_n=a_n+a_n+1，①
∵b_n，a_n+1，b_n+1成等比數列，
∴an+12=bn•bn+1，②
由②得an+1=

bnbn+1

，③
將③代入①，得對任意n≥2，n∈N^*，
有2b_n=

bn-1bn

+

bnbn+1

，
即2

bn

=

bn-1

+

bn+1

，
∴{

bn

}是等差數列．
（II）∵a₁=0，b₁=1，
∴a₂=2，b₂=4，a₃=6，b₃=9，
又{

bn

}是等差數列，
故bn=n2，
當n≥2時，a_n=n（n-1），
又a₁=0，∴a_n=n（n-1），
∴Sn=1-

1

n

，（n≥2），
當n=2時，

7

5

S2=

7

10

＜T2，
當n=3時，

7

5

S3=

14

15

＜T3，
當n≥4時，Tn≥

1

1

+

1

22

+

1

32

+

1

42

=

205

144

＞

7

5

，
而

7

5

Sn=

7

5

(1-

1

n

)＜

7

5

，
綜上，

7

5

Sn＜T_n．

點評：本題考查等差數列的證明和不等式的證明，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，熟練掌握等差數列、等比數列的通項公式和前n項和公式的靈活運用．