Question

已知橢圓C₁、拋物線C₂的焦點均在x軸上，C₁的中心和C₂的頂點均為原點O，從每條曲線上取兩個點，將其坐標記錄于下表中：

x	3	-2	4	2
y	-2 3	0	-4	2 2

（Ⅰ）求C₁、C₂的標準方程；
（Ⅱ）請問是否存在直線l滿足條件：①過C₂的焦點F；②與C₁交不同兩點M、N且滿足

OM

⊥

ON

？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設拋物線C₂：y²=2px（p≠0），則有

y2

x

=2p(x≠0)，據此驗證4個點知（3，-2

3

）、（4，-4）在拋物線上，易求C₂：y²=4x，設C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，把點（-2，0）（

2

，

2

2

）代入得：

4 a2 =1 2 a2 + 1 2b2 =1

，由此能夠求出C₁方程．
（Ⅱ）容易驗證直線l的斜率不存在時，不滿足題意；當直線l斜率存在時，假設存在直線l過拋物線焦點F（1，0），
設其方程為y=k（x-1），與C₁的交點坐標為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

x2 4 +y2=1 y=k(x-1)

消掉y，得（1+4k²）x²-8k²x+4（k²-1）=0，再由韋達定理能夠導出存在直線l滿足條件，且l的方程為：y=2x-2或y=-2x+2．

解答：解：（Ⅰ）設拋物線C₂：y²=2px（p≠0），則有

y2

x

=2p(x≠0)，據此驗證4個點知（3，-2

3

）、（4，-4）在拋物線上，易求C₂：y²=4x（2分）
設C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，把點（-2，0）（

2

，

2

2

）代入得：

4 a2 =1 2 a2 + 1 2b2 =1

解得

a2=4 b2=1

∴C₁方程為

x2

4

+y2=1（5分）
（Ⅱ）容易驗證直線l的斜率不存在時，不滿足題意；（6分）
當直線l斜率存在時，假設存在直線l過拋物線焦點F（1，0），
設其方程為y=k（x-1），與C₁的交點坐標為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
由

x2 4 +y2=1 y=k(x-1)

消掉y，得（1+4k²）x²-8k²x+4（k²-1）=0，（8分）
于是x1+x2=

8k2

1+4k2

，x1x2=

4(k2-1)

1+4k2

①
y₁y₂=k（x₁-1）×k（x₁-1）=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]
即y1y2=k2(

4(k2-1)

1+4k2

-

8k2

1+4k2

+1)=-

3k2

1+4k2

②（10分）
由

OM

⊥

ON

，即

OM

•

ON

=0，得x₁x₂+y₁y₂=0（*），
將①、②代入（*）式，得

4(k2-1)

1+4k2

-

3k2

1+4k2

=

k2-4

1+4k2

=0，解得k=±2；（11分）
所以存在直線l滿足條件，且l的方程為：y=2x-2或y=-2x+2．（12分）．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．