Question

已知c＞0，設命題p：函數y=c^x為減函數；命題q：當x∈[

1

2

，2]時，函數f（x）=x+

1

x

＞

1

c

 恒成立，如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：根據指數函數的圖象和性質可求出命題p為真命題時，c的取值范圍，根據對勾函數的圖象和性質，結合函數恒成立問題的解答思路，可求出命題q為真命題時，c的取值范圍，進而根據p∨q為真命題，p∧q為假命題，可知p與q一真一假，分類討論后，綜合討論結果，可得答案．

解答：解：∵若命題p：函數y=c^x為減函數為真命題
則0＜c＜1
當x∈[

1

2

，2]時，函數f（x）=x+

1

x

≥2，（當且僅當x=1時取等）
若命題q為真命題，則

1

c

＜2，結合c＞0可得c＞

1

2

∵p∨q為真命題，p∧q為假命題，故p與q一真一假；
當p真q假時，0＜c≤

1

2

當p假q真時，c≥1
故c的范圍為（0，

1

2

]∪[1，+∞）

點評：本題主要考查復合命題與簡單命題的真假關系的應用，要求熟練掌握．