Question

函數f（x）=2^x和g（x）=x³的圖象的示意圖如圖所示，兩函數的圖象在第一象限只有兩個交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁＜x₂
（1）請指出示意圖中曲線C₁，C₂分別對應哪一個函數；
（2）比較f（6）、g（6）、f（10）、g（10）的大小，并按從小到大的順序排列；
（3）設函數h（x）=f（x）-g（x），則函數h（x）的兩個零點為x₁，x₂，如果x₁∈[a，a+1]，x₂∈[b，b+1]，其中a，b為整數，指出a，b的值，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據指數函數f（x）=2^x的圖象恒過點（0，1），冪函數g（x）=x³的圖象過原點，可得結論；
（2）分別計算f（6）、g（6）、f（10）、g（10），即可比較大小；
（3）利用零點存在定理，計算h（1）=1＞0，h（2）=-4＜0，h（9）=2⁹-9³＜0，h（10）=2¹⁰-10³，即可得到結論．

解答：解：（1）根據指數函數f（x）=2^x的圖象恒過點（0，1），冪函數g（x）=x³的圖象過原點
可知C₁對應的函數為g（x）=x³，C₂對應的函數為f（x）=2^x．…（4分）
（2）∵f（6）=2⁶=64，g（6）=6³=216，f（10）=2¹⁰=1024，g（10）=10³=1000
∴f（6）、g（6）、f（10）、g（10）從小到大依次為f（6），g（6），g（10），f（10）．          …（9分）
（3）a=1，b=9．…（11分）
理由如下：由于h（1）=1＞0，h（2）=-4＜0，h（9）=2⁹-9³＜0，h（10）=2¹⁰-10³，
則方程h（x）=f（x）-g（x）的兩個零點x₁∈（1，2），x₂∈（9，10），
因此整數a=1，b=9．…（14分）

點評：本題重點考查函數的表示方法，考查零點存在定理，考查數形結合的數學思想，計算較簡單．