Question

設函數y=f（x）在（a，b）上的導函數為f′（x），f′（x）在（a，b）上的導函數為f″（x），若在a，b）上，f″（x）＜0恒成立，則稱函數函數f（x）在（a，b）上為“凸函數”．已知當m≤2時，f(x)=

1

6

x3-

1

2

mx2+x在（-1，2）上是“凸函數”．則f（x）在（-1，2）上（　　）

• A、既有極大值，也有極小值
• B、既有極大值，也有最小值
• C、有極大值，沒有極小值
• D、沒有極大值，也沒有極小值

Answer 1

分析：根據函數恒成立，得出m的值，利用函數單調性 得出結果．

解答：解：因f′(x)=

1

2

x2-mx+1，f″（x）=x-m＜0對于x∈（-1，2）恒成立．
∴m＞（x）_max=2，又當m=2時也成立，有m≥2．而m≤2，∴m=2．
于是f′(x)=

1

2

x2-2x+1，由f′（x）=0x=2-

2

或x=2+

2

（舍去），
f（x）（-1，2-

2

）上遞增，在（2-

2

，2）上遞減，
只有C正確．
故選C

點評：本題主要考查導數和函數知識及利用導數判斷函數單調性，屬于基礎知識，基本運算的考查．