Question

長春市某中學高三（1）班40名學生在一次數學測驗中，成績全部介于100分與150分之間，將測驗成績按如下方式分成五組：第一組[100，110）；第二組[110，120），…，第五組[140，150]．右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．
（I）若成績在130分以上為優秀，求該班在這次測驗中成績優秀的人數；
（II）估計該班在這次測驗中的平均分（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；
（III）該班有3名學生因故未參加考試，如果他們參加考試，且彼此之間的成績不受影響，以已知樣本數據的頻率作為這3名同學成績的概率．試求這3名學生中至少有1人成績不低于130分的概率．

Answer 1

解：（I）由直方圖知，成績在[130，150]內的人數為：40×0.2+40×0.1=12 （人）
所以該班成績優秀的人數為12人．
（II）設該班在這次測驗中的平均分為，
則=105×0.05+115×0.25+125×0.4+135×0.2+145×0.1=125.5（分）．
（III）每1名學生成績不低于130的概率為 p=0.2+0.1=0.3．
設這3名學生中至少有1人成績不低于130分為事件A，其對立事件為：這3名學生成績全部低于130分，
P（A）=1-C₃⁰×0.7³=1-0.343=0.657．
分析：（I）由直方圖知，成績在[130，150]內的人數為：40×0.2+40×0.1，運算求得結果．
（II）設該班在這次測驗中的平均分為，則=105×0.05+115×0.25+125×0.4+135×0.2+145×0.1，運算求得結果．
（III）每1名學生成績不低于130的概率為 p=0.3，這3名學生中至少有1人成績不低于130分的概率為1-C₃⁰×0.7³=，
運算求得結果．
點評：本題考查n次獨立重復實驗中恰好發生k次的概率，等可能事件的概率，所求的事件與它的對立事件概率間的關系，
得到每1名學生成績不低于130的概率為 p=0.3，是解題的關鍵．