Question

本題（1）、（2）、（3）三個選答題，每小題7分，任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分．
（I）選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=

0 1 a 0

，矩陣B=

0 2 b 0

，直線l1：x-y+4=0經矩陣A所對應的變換得直線l₂，直線l₂又經矩陣B所對應的變換得到直線l₃：x+y+4=0，求直線l₂的方程．
（II）選修4-4：坐標系與參數方程
求直線

x=-1+2t y=-2t

被曲線

x=1+4cosθ y=-1+4sinθ

截得的弦長．
（III）選修4-5：不等式選講
若存在實數x滿足不等式|x-4|+|x-3|＜a，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由BA=

02 b0

0 1 a 0

=

2a 0 0 b

，得l₁變換到l₃的變換公式

x′=2ax y′=by

從而2ax+by+4=0即直線l₁：x-y+4=0，列出關于a，b的方程即可求得a，b即可．
（II）先得出直線

x=-1+2t y=-2t

的普通方程為x+y+1=0及曲線

x=1+4cosθ y=-1+4sinθ

即圓心為（1，-1）半徑為4的圓  利用圓心（1，-1）到直線的距離即可求得直線被曲線截得的弦長；
（III）先利用絕對值不等式的性質得出y=|x-4|+|x-3|的最小值為1再根據原不等式有實數解，即可求得a的取值范圍．

解答：解：（1）（本小題滿分7分）
解：BA=

02 b0

0 1 a 0

=

2a 0 0 b

，
得l₁變換到l₃的變換公式

x′=2ax y′=by

，…（2分）則2ax+by+4=0即直線l₁：x-y+4=0，
則有

2a=1 b=-1

解得a=

1

2

，b=-1…（4分）
此時B=

0 2 -1 0

，同理可得l₂的方程為2y-x+4=0
即x-2y-4=0．…（7分）
（2）（本小題滿分7分）
解：直線

x=-1+2t y=-2t

的普通方程為x+y+1=0…（2分）
曲線

x=1+4cosθ y=-1+4sinθ

即圓心為（1，-1）半徑為4的圓  …（4分）
則圓心（1，-1）到直線x+y+1=0的距離d=

|1-1+1|

12+12

=

2

2

…（5分）
設直線被曲線截得的弦長為t，則t=2

42-( 2 2 )2

=

62

，
∴直線被曲線截得的弦長為

62

…（7分）
（3）（本小題滿分7分）
解：∵|x-4|+|x-3|≥|（x-4）-（x-3）|…（2分）∴y=|x-4|+|x-3|的最小值為1   …（4分）
又因為原不等式有實數解，所以a的取值范圍是（1，+∞）．…（7分）

點評：本小題主要考查幾種特殊的矩陣變換、圓的參數方程、不絕對值不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．