Question

已知函數f（x）=sinx-

1

2

x（x∈[0，π]），那么下列結論正確的是（　　）

• A、f（x）在[0，

  π

  2

  ]上是增函數
• B、f（x）在[

  π

  6

  ，π]上是減函數
• C、?x∈[0，π]，f（x）＞f(

  π

  3

  )
• D、?x∈[0，π]，f（x）≤f(

  π

  3

  )

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的概念及應用

分析：對函數f（x）求導，令f′（x）=0，判定f（x）在其定義域上的單調性與最值，從而判定各選項是否正確．

解答： 解：∵函數f（x）=sinx-

1

2

x（x∈[0，π]），
∴f′（x）=cosx-

1

2

；
令f′（x）=0，得x=

π

3

；
∴x∈[0，

π

3

]時，f′（x）＞0，f（x）是增函數；
x∈[

π

3

，π]時，f′（x）＜0，f（x）是減函數；
∴f（x）在x=

π

3

時有極大值，也是最大值f（

π

3

）．
∴選項A、B、C錯誤，D正確．
故選：D．

點評：本題考查了利用導數來研究函數的單調性與最值的問題，解題時應先考慮函數的性質，再判定各選項是否正確，是基礎題．