Question

己知f（x）為定義域為 R 內的減函數，且f(x)=

logax (2a-1)x+4a

(x≥1) (x＜1)

，則實數a的取值范圍為

[

1

6

，

1

2

）

．

Answer 1

分析：根據對數函數在區間[1，+∞）是減函數得a∈（0，1），由一次函數f（x）=（2a-1）x+4a在區間（-∞，1）是減函數，得到a＜

1

2

，再根據不等式（2a-1）x+4a≥log_ax在x=1時成立解出a≥

1

6

，最后將各種情況取交集即得實數a的取值范圍．

解答：解：∵f（x）為定義域為R內的減函數，
∴當x∈[1，+∞）時，f（x）=log_ax是減函數，可得a∈（0，1）
當x∈（-∞，1）時，f（x）=（2a-1）x+4a是減函數，得2a-1＜0，解之得a＜

1

2

因此，a的取值范圍為（0，

1

2

）
又∵（2a-1）x+4a≥log_ax在x=1時成立
∴（2a-1）×1+4a≥log_a1=0，解之得a≥

1

6

綜上所述，滿足條件的實數a的取值范圍為[

1

6

，

1

2

）．
故答案為：[

1

6

，

1

2

）

點評：本題給出分段函數，在已知函數在R上為減函數的情況下求參數a的取值范圍，著重考查了基本實數函數的單調性和分段函數單調性的處理等知識，屬于中檔題．