Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為 ．
（1）求a1 ， a2 ， a3；
（2）若數列{an}為等比數列，求常數a的值及an；
（3）對于（2）中的an ， 記f（n）=λa2n+1﹣4λan+1﹣3，若f（n）＜0對任意的正整數n恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵數列{an}的前n項和為 ，

∴a1=S1=2+a，

S2=（2+a）+a2=4+a，解得a2=2，

a3=S3﹣S2=8﹣4=4

（2）解：∵數列{an}為等比數列，

由（1）知a1=2+a，a2=2，a3=4，

∴ ，即4=（2+a）4，

解得a=﹣1．

∴ ，

∴

（3）解：∵ ，

∴f（n）=λa2n+1﹣4λan+1﹣3

=λ22n﹣4λ2n﹣3

=λ（2n﹣2）2﹣3﹣4λ＜0，

即λ[（2n﹣2）2﹣4]＜3，

分3種情況討論：

①、λ＞0時，有λ＜ ≤﹣ ，解可得，λ＜﹣ ，此時無解；

②、λ=0時，有f（n）＜0恒成立，即λ=0符合題意；

③、λ＜0時，有λ＞ ，解可得，λ＞﹣ ，

此時λ的取值范圍是﹣ ＜λ＜0；

∴綜合可得：實數λ的取值范圍是（﹣ ，0]

【解析】（1）利用 能求出a1 ， a2 ， a3 ． （2）由數列{an}為等比數列，得到 ，由此能求出常數a的值及an ． （3）由 ，得到f（n）=λ（2n﹣2）2﹣3﹣4λ，由此能求出結果．
【考點精析】關于本題考查的數列的前n項和和等比數列的基本性質，需要了解數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；{an}為等比數列，則下標成等差數列的對應項成等比數列;{an}既是等差數列又是等比數列== {an}是各項不為零的常數列才能得出正確答案．