Question

甲和乙參加智力答題活動，活動規則：①答題過程中，若答對則繼續答題；若答錯則停止答題；②每人最多答3個題；③答對第一題得10分，第二題得20分，第三題得30分，答錯得0分。已知甲答對每個題的概率為，乙答對每個題的概率為。
（1）求甲恰好得30分的概率；
（2）設乙的得分為，求的分布列和數學期望；
（3）求甲恰好比乙多30分的概率.

Answer 1

（1）
（2）分布列見解析       數學期望
（3）

試題分析：（1）要求甲恰好得30分的概率，我們分析活動規則后可得，甲恰好得30分，說明甲前兩題都答對，而第三題答錯，代入分步事件概率公式即可得到答案．
（2）設乙的得分為ξ，則ξ的取值為0，10，30，60，我們根據活動規則，分析出ξ取不同值時的情況，代入概率公式即可求解．（3）要求甲恰好比乙多30分的概率，我們要先分析甲恰好比乙多30分的發生情況，由（2）的結論，共有兩種情況，即甲恰好得30分且乙恰好得0分，或是甲恰好得60分且乙恰好得30分，代入概率公式即可求解 。
解：（I）甲恰好得30分，說明甲前兩題都答對，而第三題答錯，其概率為，-------3分
（II）的取值為0，10， 30，60.--------4分
，
，
的概率分布如下表：

	0	10	30	60

---------8分
-------10分
　（III）設甲恰好比乙多30分為事件A，甲恰好得30分且乙恰好得0分為事件B_1,
甲恰好得60分且乙恰好得30分為事件B₂，則A=為互斥事件.
.
所以，甲恰好比乙多30分的概率為-----------14分
點評：解決該試題的關鍵是對于要想計算一個事件的概率，首先我們要分析這個事件是分類的（分幾類）還是分步的（分幾步），然后再利用加法原理和乘法原理進行求解。