Question

下列不等式對任意的x∈（0，+∞）恒成立的是

1. A.
   e^x＞ex
2. B.
   x-x²＞0
3. C.
   sinx＞-x+1
4. D.
   x＞ln（1+x）

Answer 1

D
分析：要判斷一個不等式不是恒成立的，我們可舉一個使不等式不成立的反例即可，如當x=1時，A中e^x＞ex與中x-x²＞0均不成立，也可以利用函數的圖象進行分析，如對C答案的判斷，當要說明不等式恒成立時，我們要助于函數思想或方程思想轉化為求函數的最值或利用函數的圖象或判別式的方法求解．
解答：當x=1時，e^x=ex，故A中e^x＞ex對任意的x∈（0，+∞）不恒成立；
當x=1時，x-x²=0，故B中x-x²＞0對任意的x∈（0，+∞）不恒成立；
又∵y=sin在（0，）上函數值由0遞增到1，
y=-x+1在（0，）上函數值由1遞減到1-，
故在區間（0，）上存在實數x使sinx=-x+1，故C中sinx＞-x+1對任意的x∈（0，+∞）不恒成立；
而∵函數y=x-ln（1+x）的導函數y'=1-在x∈（0，+∞）有，y'＞0恒成立
故y=x-ln（1+x）在區間（0，+∞）上為增函數，y＞y|_x=0=0，
故x＞ln（1+x）對任意的x∈（0，+∞）恒成立
故選D
點評：解不等式恒成立問題，通常借助于函數思想或方程思想轉化為求函數的最值或利用函數的圖象或判別式的方法求解．