Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別記為a，b，c．下列給出的四個條件：
①sinA＞sinB；②cosA＜cosB；③sin2A＞sin2B；④cos2A＜cos2B．
其中“a＞b”的充要條件是

①、②、④

（寫出所有正確條件的序號）．

Answer 1

分析：①利用正弦定理，sinA＞sinB 等價于 a＞b．
②由cosA＜cosB，利用同角三角函數的基本關系可得sinA＞sinB，
③由sin2A＞sin2B，不能推出a＞b，舉反例說明． 
④由cos2A＜cos2B，可得sinA＞sinB，故等價于 a＞b．

解答：解：由①sinA＞sinB，利用正弦定理可得 a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB 等價于 a＞b．
由②cosA＜cosB，利用同角三角函數的基本關系可得sinA＞sinB，等價于a＞b．
由③sin2A＞sin2B，不能推出a＞b，如 A=45°，B=60°時，雖然有sin2A＞sin2B，但由大角對大邊得a＜b．
由④cos2A＜cos2B，利用二倍角公式即 1-2sin²A＜1-2sin²B，∴sin²A＞sin²B，
∴sinA＞sinB，故等價于 a＞b．
故答案為①、②、④．

點評：本題考查正弦函數的單調性，正弦定理，同角三角函數的基本關系，三角形中有大角對大邊，將命題轉化是解題的關鍵．