Question

已知函數f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx．（I）當a=1時，求f（x）的極值；（II）若函數f（x）在(0，

1

2

)上恒大于零，求實數a的最小值．

Answer 1

分析：（1）當a=1時代入函數求出導數，計算極值，
（2）展開函數，求導，根據導數的值判斷函數的單調性，利用恒成立問題求出最值

解答：解：
（1）當a=1時，f（x）=x-1-2lnx，則f′（x）=1-（2/x）…2分
由f′（x）＞0得x＞2；由f′（x）＜0得0＜x＜2…3分
∴f（x）的單調減區間為（0，2]，單調增區間為[2，+∞]…4分
∴f（x）有極小值f（2）2-2ln2，無極大值…5分
（2）要對任意的x∈（0，1/2），f（x）＞0恒成立，
即對x∈（0，1/2），a＞2-

2lnx

x-1

恒成立，…6分
令l（x）=2-

2lnx

x-1

，x∈（0，

1

2

），
則l′（x）=[-（2/x）（x-1）-2lnx]/（x-1）2=（2lnx+2/x-2）/（x-1）…7分
令M（x）=2lnx+2/x-2），x∈（1，

1

2

）
則M′（x）=-2/x2+

2

x

=-2（1-x）/x2＜0…8分
故M（x）在（0，

1

2

）為減函數，所以M（x）＞M（

1

2

）=2-2ln2＞0…9分
所以l′（x）＞0，所以l（x）在（0，

1

2

）上為增函數…10分
所以l（x）＞l（

1

2

）=2-4ln2
所以要使a＞2-

2lnx

x-1

恒成立，只要a∈[2-4ln2，+∞）
綜上：若函數f（x）在(0，

1

2

)上恒大于零，實數a的最小值為2-4ln2…12分

點評：該題考查利用導數求極值問題，為基礎題，可根據恒成立問題求出a的范圍，根據給出的x的值求a的最小值，也可以先求導再根據情況討論．