Question

 已知函數是在上每一點均可導的函數，若 在時恒成立．

（1）求證：函數在上是增函數；

（2）求證：當時，有；

（3）請將（2）問推廣到一般情況，并證明你的結論．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 【解析】（1）由得因為，

    所以在時恒成立，所以函數在上是增函數．……3分

（2）由（1）知函數在上是增函數，所以當時，

有成立，……5分

從而，

兩式相加得．……7分

（3）推廣到一般情況為：

若，則，．……8分

以下用數學歸納法證明

（1）當時，有（2）已證成立，……9分

（2）假設當時成立，即

那么當時，

成立，即當時也成立．

    有（1）（2）可知不等式對一切時都成立．……12分