Question

(理科)如圖，已知直線l：my＋1過橢圓C：＝1的右焦點F，拋物線：x²＝4y的焦點為橢圓C的上頂點，且直線l交橢圓C于A、B兩點，點A、F、B在直線g：x＝4上的射影依次為點D、K、E．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)若直線l交y軸于點M，且，當m變化時，探求λ₁＋λ₂的值是否為定值？若是，求出λ₁＋λ₂的值，否則，說明理由；

(Ⅲ)連接AE、BD，試探索當m變化時，直線AE與BD是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標，并給予證明；否則，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)易知橢圓右焦點∴， 　　拋物線的焦點坐標 　　 　　 　　橢圓的方程　　3分 　　(Ⅱ)易知，且與軸交于， 　　設直線交橢圓于 　　由 　　∴ 　　∴　　6分 　　又由 　　 　　同理 　　∴ 　　∵ 　　∴　　9分 　　所以，當m變化時，的值為定值　　10分 　　(Ⅲ)先探索，當m＝0時，直線軸，則為矩形，由對稱性知，與相交的中點N，且， 　　猜想：當m變化時，AE與BD相交于定點　　11分 　　證明：由(Ⅱ)知，∴ 　　當m變化時，首先證直線AE過定點， 　　方法1)∵ 　　當時， 　　 　　 　　 　　∴點在直線上， 　　同理可證，點也在直線上； 　　∴當m變化時，AE與BD相交于定點　　14分 　　方法2)∵ 　　 　　 　　 　　∴ 　　∴A、N、E三點共線， 　　同理可得B、N、D也三點共線； 　　∴當m變化時，AE與BD相交于定點　　14分