Question

從廣州六中高二年級理科學生中隨機抽取40名學生，將他們的期中考試物理成績（均為整數）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如下頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求a的值并根據樣本頻率分布直方圖估計廣州六中高二年級理科期中考試物理成績的眾數；
（Ⅱ）廣州六中為了培優補差，從這40名90分以上（含90分）和50分以下的學生中任意選取2人了解情況，求選出的兩人中恰有1人成績高于90分的概率．

Answer 1

分析：（I）根據頻率分布直方圖中，所有的小矩形面積和為1，求出a值；根據眾數的值為頻率分布直方圖中最高矩形的中點的橫坐標，求眾數；
（II）先求出50分以下和90分以上的學生數，再求出從中任取2人的取法種數和兩人中恰有1人成績高于90分的取法種數，根據古典概型概率公式計算．

解答：解：（Ⅰ）因為在頻率分布直方圖中，所有的小矩形面積和為1，所以有：
（0.01+0.015+0.015+a+0.025+0.005）×10=1⇒a=0.03，
因為眾數的值為頻率分布直方圖中最高矩形的中點的橫坐標，所以眾數約為75．
（Ⅱ）由題意知，這40名學生中，50分以下的學生共有40×0.1=4人，
90分以上的學生共有40×0.05=2人，
從這6人中任取2人共有

C

2 6

=15種取法；
其中兩人中恰有1人成績高于90分的取法共有

C

1 2

×

C

1 4

=8人；
∴選出的兩人中恰有1人成績高于90分的概率為

8

15

．

點評：本題考查了頻率分布直方圖的相關知識．直方圖中的各個矩形的面積代表了頻率，所以各個矩形面積之和為1．同時也考查了古典概型的概率計算，組合數公式．