Question

【題目】已知函數．

（1）當a＝時，試判斷函數f(x)的單調性；

（2）設g(x)＝，若g(x)有唯一零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f(x)在(0，＋∞)上單調遞減．（2）．

【解析】

（1）求出，兩次求導，可判斷在區間恒成立，從而可得結果；（2）g(x)＝，x＞0，g(x)＝＋2ax，分四種情況討論，分別利用導數研究函數的單調性，求出函數的極值，結合單調性與極值分別判斷是否符合題意，從而得到實數a的取值范圍．

（1）當a＝時，f(x)＝，x＞0，

求導得，令p(x)=，則p(x)＝，

當x＞1時，p(x)＜0，當0＜x＜1時，p(x)＞0，

所以f(x)在(0，1)上單調遞增，在(1，＋∞)上單調遞減，

所以f(x)≤f(1)＝0，當且僅當x＝1時，等號成立，

所以f(x)在(0，＋∞)上單調遞減．

（2）g(x)＝，x＞0，g(x)＝＋2ax，

①當a≥0時，g(x)＞0，g(x)在(0，＋∞)上單調遞增，

因為g(1)＝0，所以g(x)有唯一零點.

②當a＝時，g(x)＝，

當0＜x＜1時，g(x)＞0，當x＞1時，g(x)＜0，

則g(x)在(0，1)上單調遞增，在(1，＋∞)上單調遞減，

因為g(1)＝0，所以g(x)有唯一零點．

③當＜a＜0時，由g(x)＝0，得x＝＞1，

當0＜x＜時，g(x)＞0，當x＞時，g(x)＜0，

則g(x)在(0，)上單調遞增，在(，＋∞)上單調遞減，

因為g(1)＝0，所以g()＞0，

由（1）可知，lnx≤，當且僅當x＝1時等號成立，

因為＞＞1（注：因為＜a＜0，所以，所以，所以，因為，所以，所以＞＞1），

且，

所以g(x)在(，)上存在一個零點，

即g(x)存在兩個零點，不符合題意．

④當a＜時，由g(x)＝0，得x＝＜1，

當0＜x＜時，g(x)＞0，當x＞時，g(x)＜0，

則g(x)在(0，)上單調遞增，在(，＋∞)上單調遞減，

因為g(1)＝0，所以g()＞0，

令h(x)＝xex＋1，h(x)＝(x＋1)ex，

易知h(x)在上單調遞減，則在上h(x)＞＝1－＞0．

因為a＜，所以2a＜，所以h(2a)＝2ae2a＋1＞0，即ea＜＜1，

此時g(ea)＝＝ae2a＜0，

所以g(x)在(ea，)上存在一個零點，且g(1)＝0，

即g(x)存在兩個零點，不符合題意．

綜上所述，若g(x)有唯一零點，則實數a的取值范圍是．