Question

已知函數f（x）=x²+2x．
（Ⅰ）數列a_n滿足：a₁=1，a_n+1=f'（a_n），求數列a_n的通項公式；
（Ⅱ）已知數列b_n滿足b₁=t＞0，b_n+1=f（b_n）（n∈N*），求數列b_n的通項公式；
（Ⅲ）設的前n項和為S_n，若不等式λ＜S_n對所有的正整數n恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出導函數，代入得到a_n+1=2a_n+2，兩邊加2化簡得a_n+2為首項為a₁+2，公比為2的等比數列，寫出通項，求出a_n即可；
（Ⅱ）將b_n代入到f（b_n）中化簡b_n+1=f（b_n）得到b_n+1+1=（b_n+1）²，兩邊取對數得到lg（b_n+1）的公比為2的等比數列得到b_n的通項；
（Ⅲ）由c_k+1=b_k²+2b_k，和得到c_k的通項公式，求出前n項的和S_n且在n∈[1，+∞）上是增函數，求出S_n的最小值為S₁，令λ＜S₁求出λ的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）f'（x）=2x+2，
∴a_n+1=2a_n+2∴a_n+1+2=2（a_n+2），因為a_n+2為等比數列，∴a_n+2=（a₁+2）2^n-1∴a_n=3•2^n-1-2
（Ⅱ）由已知得b_n＞0，b_n+1+1=（b_n+1）²，
∴lg（b_n+1+1）=2lg（b_n+1），
∴又lg（b₁+1）=lg（t+1）≠0，所以lg（b_n+1）的公比為2的等比數列，
∴b_n=（t+1）2^n-1-1
（Ⅲ）∵b_k+1=b_k²+2b_k，∴，，k=1，2，n∴=，
∵t＞0，∴t+1＞1，∴S_n在n∈[1，+∞）上是增函數
∴S_n≥S₁==，又不等式λ＜S_n對所有的正整數n恒成立，
∴，故λ的取值范圍是（-∞，
點評：考查學生掌握等比數列的通項公式，靈活運用等比數列的性質，會用數列的遞推解決問題，理解不等式恒成立時取到的條件．