Question

已知函數f(x)=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2011

2011

，g(x)=1-x+

x2

2

-

x3

3

+

x4

4

-…-

x2011

2011

，設F（x）=f（x+3）•g（x-3），且函數F（x）的零點均在區間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內，則b-a的最小值為

 

．

Answer 1

分析：利用導數分別求出函數f（x）、g（x）的零點所在的區間，f′（x）＞0，因此f（x）是R上的增函數，且f（0）=1＞0，f（-1）=-

1

2

-

1

3

-

1

4

-…-

1

2011

＜0，g′（x）＜0，因此g（x）是R上的減函數，且g（1）=

1

2

-

1

3

+

1

4

-…-

1

2011

＞0，g（2）=1-2+2-

8

3

+…-

22011

2011

＜0，函數f（x）在（-1，0）上有一個零點；函數g（x）在（1，2）上有一個零點，，然后要求F（x）=f（x+3）•g（x-3）的零點所在區間，即求f（x+3）的零點和g（x-3）的零點所在區間，根據圖象平移即可求得結果．

解答：解：f′（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹⁰=

1     x=1 1- x2011 1-x  x≠1

，
∴f′（x）＞0，因此f（x）是R上的增函數，
且f（0）=1＞0，f（-1）=-

1

2

-

1

3

-

1

4

-…-

1

2011

＜0，
∴函數f（x）在（-1，0）上有一個零點；
g′（x）=-1+x-x²+x³-…-x²⁰¹⁰=

-1     x=1 - 1-x2011 1-x  x≠1

，
∴g′（x）＜0，因此g（x）是R上的減函數，且g（1）=

1

2

-

1

3

+

1

4

-…-

1

2011

＞0，
g（2）=1-2+2-

8

3

+…-

22011

2011

＜0，
∴函數g（x）在（1，2）上有一個零點，
∵F（x）=f（x+3）•g（x-3），且函數F（x）的零點均在區間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內，
∴f（x+3）的零點在（-4，-3）內，g（x-3）的零點在（4，5）內，
因此F（x）=f（x+3）•g（x-3）的零點均在區間[-4，5]內，
∴b-a的最小值為9．
故答案為：9．

點評：此題是難題．考查函數零點判定定理和利用導數研究函數的單調性以及數列求和問題以及函數圖象的平移，體現了分類討論的思想，以及學生靈活應用知識分析解決問題的能力．