Question

已知函數f(x)=

x2+ax+1

x-1

(a≠-2)的圖象關于點（b，1）對稱．
（I）求a的值；
（II）求函數f（x）的單調區間；
（II）設函數g（x）=x³-3c²x-2c（c≤-1）．若對任意x₁∈[2，4]，總存在x₂∈[-1，0]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）f(x)=

x2+ax+1

x-1

(a≠-2)=x-1+

a+2

x-1

+a+2，由y=x+

a+2

x

（a≠2）的圖象有一個唯一的對稱中心（0，0），f（x）的對稱中心是（b，1），能求出a．
（II）由a=-1，b=1，知f（x）=

x2-x+1

x-1

.f′(x)=

(2x-1)(x-1)-(x2-x+1)

(x-1)2

=

x(x-2)

(x-1)2

，由此能求出函數f（x）的單調區間．
（Ⅲ）由g（x）=x³-3c²x-2c（c≤-1），得g′（x）=3x²-3c²=3（x²-c²），由對任意x₁∈[2，4]，總存在x₂∈[-1，0]，使得f（x₁）=g（x₂）成立推導出-2c≤3＜

13

3

≤3c2-2c-1，其中c≤-1．由此能求出c的取值范圍．

解答：解：（I）∵f(x)=

x2+ax+1

x-1

(a≠-2)
=

(x-1)2+(a+2)x

x-1

=x-1+

a+2

x-1

+a+2，
∵y=x+

a+2

x

，（a≠2）的圖象有一個唯一的對稱中心（0，0），
∴f（x）有唯一一個對稱中心（1，a+2），
∵f（x）的對稱中心是（b，1），∴a=-1，b=1．
故a=-1．
（II）∵a=-1，b=1，∴f（x）=

x2-x+1

x-1

．
∴f′(x)=

(2x-1)(x-1)-(x2-x+1)

(x-1)2

=

x(x-2)

(x-1)2

，
列表討論：

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	不存在	-	0	+
f（x）	↑	-1	↓	不存在	↓	3	↑

∴函數f（x）的增區間為（-∞，0）和（2，+∞），減區間為（0，1）和（1，2）．
（Ⅲ）由g（x）=x³-3c²x-2c（c≤-1），得
g′（x）=3x²-3c²=3（x²-c²），
當x₂∈[-1，0]時，g′（x₂）≤0，
∴g（x₂）∈[g（0），g（-1）]．即g（x₂）∈（-2c，-2c-1），
∵f（x）在[2，4]上是增區數，f（2）=3，f（4）=

13

3

，
∴f(x1)∈[3，

13

3

]．
∵任意x₁∈[2，4]，總存在x₂∈[-1，0]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
∴-2c≤3＜

13

3

≤3c2-2c-1，其中c≤-1．
∴

-2c≤3 c≤-1 3c2-2c- 16 3 ≥0

，解得-

3

2

≤c≤

1- 17

3

．
故c的取值范圍是[-

3

2

，

1- 17

3

]．

點評：本題考查函數的對稱中心的應用，考查函數的單調區間的求法，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意導數性質、等價轉化思想、分類討論思想的合理運用．