Question

【題目】乒乓球比賽規則規定：一局比賽，雙方比分在10平前，一方連續發球2次后，對方再連續發球2次，依次輪換．每次發球，勝方得1分，負方得0分．設在甲、乙的比賽中，每次發球，發球方得1分的概率為0.6，各次發球的勝負結果相互獨立．甲、乙的一局比賽中，甲先發球． （Ⅰ）求開始第4次發球時，甲、乙的比分為1比2的概率；
（Ⅱ）ξ表示開始第4次發球時乙的得分，求ξ的期望．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）記Ai表示事件：第1次和第2次這兩次發球，甲共得i分，i=0，1，2；A表示事件：第3次發球，甲得1分；

B表示事件：開始第4次發球，甲、乙的比分為1比2，則B=A0A+A1

∵P（A）=0.4，P（A0）=0.16，P（A1）=2×0.6×0.4=0.48

∴P（B）=0.16×0.4+0.48×（1﹣0.4）=0.352；

（Ⅱ）P（A2）=0.62=0.36，ξ表示開始第4次發球時乙的得分，可取0，1，2，3

P（ξ=0）=P（A2A）=0.36×0.4=0.144

P（ξ=2）=P（B）=0.352

P（ξ=3）=P（A0 ）=0.16×0.6=0.096

P（ξ=1）=1﹣0.144﹣0.352﹣0.096=0.408

∴ξ的期望Eξ=1×0.408+2×0.352+3×0.096=1.400

【解析】（Ⅰ）記Ai表示事件：第1次和第2次這兩次發球，甲共得i分，i=0，1，2；A表示事件：第3次發球，甲得1分；B表示事件：開始第4次發球，甲、乙的比分為1比2，則B=A0A+A1 ，根據P（A）=0.4，P（A0）=0.16，P（A1）=2×0.6×0.4=0.48，即可求得結論；（Ⅱ）P（A2）=0.62=0.36，ξ表示開始第4次發球時乙的得分，可取0，1，2，3，計算相應的概率，即可求得ξ的期望．