Question

國家助學貸款是由財政貼息的信用貸款，旨在幫助高校家庭經(jīng)濟困難學生支付在校學習期間所需的學費、住宿費及生活費，每一年度申請總額不超過6000元，某大學2010屆畢業(yè)生凌霄在本科期間共申請了2 4000元助學貸款，并承諾在畢業(yè)后3年內(nèi)（按36個月計）全部還清，簽約的單位提供的工資標準為第一年內(nèi)每月l 500元，第13個月開始，每月工資比前一個月增加5%直到4000元，凌霄同學計劃前12個月每個月還款額為500，第13個月開始，每月還款額比前一月多x元。
（1）若凌霄恰好在第36個月（即畢業(yè)后三年）還清貸款，求x的值；
（2）當x=50時，凌霄同學將在第幾個月還清最后一筆貸款？他當月工資的余額是否能滿足每月3000元的基本生活費？（參考數(shù)據(jù)： 1.05¹⁸=2.406，1.05¹⁹=2.526，1.05²⁰=2.653，1.05²¹=2.786）

Answer 1

解：（1）依題意，從第13個月開始，每個月的還款額為a_n構(gòu)成等差數(shù)列，其中a₁=500+x，公差為x
從而，到第36個月，凌霄共還款12×500+24a₁+
令24000，解得x=20（元）
即要使在三年全部還清，第13個月起每個月必須比上一個月多還20元。
（2）設(shè)凌霄第n個月還清，則應(yīng)有12×500+（500+
整理可得n²-3n-828≥0，
解得，取n=31
即凌霄工作31個月就可以還清貸款
這個月凌霄的還款額為24000-[12×500+（500+ 50）×（30-12）+= 450（元）
第31個月凌霄的工資為1500×1.05¹⁹=1500×2.526=3789（元）
因此，凌霄的剩余工資為3789-450=3339（元），能夠滿足當月的基本生活需求。