Question

設數列{a_n}中，S_n是它的前n項和，a₁=4，na_n+1=S_n+n（n+1）對任意n∈N^*均成立．
（I）求證：數列{a_n}是等差數列；
（II）設數列{b_n}滿足b_n+1-b_n=a_n，其中b₁=2，求數列{b_n}的通項公式；
（III）設，求證：c₁+c₂+…+c_n＜1．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用數列中前n項和S_n與通項a_n之間的關系，將前n項和S_n轉化為通項a_n之間的關系是解決本題的關鍵．用等差數列的定義判斷該數列是等差數列；
（II）發現數列{b_n}的規律是解決本題的關鍵．轉化為等差數列求和問題．
（III）裂項求和是解決本小題的關鍵．利用放縮法從左邊放縮到右邊．
解答：解：（I）∵na_n+1=S_n+n（n+1）①∴（n-1）a_n=S_n-1+（n-1）n（n≥2）②
①-②整理得，a_n+1-a_n=2（n≥2）
又由①，取n=1得a₂-a₁=2∴a_n+1-a_n=2（n∈N^*）
∴數列{a_n}是以4為首項，2為公差的等差數列．
（II）由（I）知a_n=4+2（n-1）=2（n+1）
∴b_n+1-b_n=2（n+1）
∴（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₃-b₂）+（b₂-b₁）=2n+2（n-1）+…+2×3+2×2=n²+n-2
∴b_n=n（n+1）．
（III）由得，
∴c₁+c₂+…+c_n=．
點評：本題考查等差數列的確定，利用等差數列的定義解決．考查數列中前n項和S_n與通項a_n之間的關系，考查學生的等價轉化思想和化歸思想，數列求和的裂項求和方法，證明不等式的放縮法等方法．