Question

（14分）（2011•廣東）在平面直角坐標系xOy中，直線l：x=﹣2交x軸于點A，設P是l上一點，M是線段OP的垂直平分線上一點，且滿足∠MPO=∠AOP．
（1）當點P在l上運動時，求點M的軌跡E的方程；
（2）已知T（1，﹣1），設H是E上動點，求|HO|+|HT|的最小值，并給出此時點H的坐標；
（3）過點T（1，﹣1）且不平行與y軸的直線l₁與軌跡E有且只有兩個不同的交點，求直線l₁的斜率k的取值范圍．

Answer 1

（1）y²=4x+4 （x≥﹣1）或y=0（x＜﹣1）
（2）
（3）（﹣]∪（0，+∞）

試題分析：（1）由于直線l：x=﹣2交x軸于點A，所以A（﹣2，0），由于P是l上一點，M是線段OP的垂直平分線上一點，且滿足∠MPO=∠AOP，可以設點P，由于滿足∠MPO=∠AOP，所以分析出MN∥AO，利用相關點法可以求出動點M的軌跡方程；
（2）由題意及點M的軌跡E的方程為y²=4（x+1），且已知T（1，﹣1），又H是E 上動點，點O及點T都為定點，利用圖形即可求出；
（3）由題意設出過定點的直線方程l₁并與點M的軌跡E的方程聯立，利用有兩個交點等價與聯立之后的一元二次方程的判別式大于0，即可得到所求．
解：（1）如圖所示，連接OM，則|PM|=|OM|∵∠MPO=∠AOP，∴動點M滿足MP⊥l或M在x的負半軸上，設M（x，y） ①當MP⊥l時，|MP|=|x+2|，|om|=，|x+2|=，化簡得y²=4x+4 （x≥﹣1）②當M在x的負半軸上時，y=0（x＜﹣1）綜上所述，點M的軌跡E的方程為y²=4x+4 （x≥﹣1）或y=0（x＜﹣1）
（2）由題意畫出圖形如下：
∵由（1）知道動點M 的軌跡方程為：y²=4（x+1）．
是以（﹣1，0）為頂點，以O（0，0）為焦點，以x=﹣2為準線的拋物線，
由H引直線HB垂直準線x=﹣2與B點，則
利用拋物線的定義可以得到：|HB|=|HO|，
∴要求|HO|+|HT|的最小值等價于求折線|HB|+|HT|的最小值，
由圖可知當由點T直接向準線引垂線是與拋物線相交的H使得HB|+|HT|的最小值，
故|HO|+|HT|的最小值時的H．
（3）如圖，設拋物線頂點A（﹣1，0），則直線AT的斜率∵點T（1，﹣1）在拋物線內部，∴過點T且不平行于x，y軸的直線l₁必與拋物線有兩個交點則直線l₁與軌跡E的交點個數分以下四種情況討論：①當K時，直線l₁與軌跡E有且只有兩個不同的交點 ②當時，直線l₁與軌跡E有且只有三個不同的交點 ③當K=0時，直線l₁與軌跡E有且只有一個交點 ④當K＞0時，直線l₁與軌跡E有且只有兩個不同的交點綜上所述，直線l₁的斜率K的取值范圍是
（﹣]∪（0，+∞） 


點評：此題重點考查了利用相關點法求動點的軌跡方程，還考查了利用拋物線的定義求出HO|+|HT|的最小值時等價轉化的思想，還考查了直線與曲線有兩個交點的等價轉化思想．