Question

已知正數列{a_n}的前n項和為S_n，且有S_n=

1

4

(an+1)2，數列{b_n}是首項為1，公比為

1

2

的等比數列．
（1）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）若c=a_nb_n，求：數列{c_n}的前n項和T_n；
（3）求證：

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＜

5

3

．

Answer 1

（1）由Sn=

1

4

(an+1)2，
當n=1時，a1=

1

4

(a1+1)2，∴a₁=1，
當n≥2時，Sn-1=

1

4

(an-1+1)2，
∴an=Sn-Sn-1=

1

4

(

a

2n

-

a

2n-1

+2an-2an-1)，
即（a_n+a_n+1）（a_n-a_n-1-2）=0，∵a_n＞0，
∴數列{a_n}是a₁=1，d=2的等差數列
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．
∵數列{b_n}是首項為1，公比為

1

2

的等比數列．
∴bn=b1qn-1=1×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-1．
（2）c_n=a_nb_n=

2n-1

2n-1

，T_n=c₁+c₂+…+c_n
Tn=1+

3

2

+

5

22

+…+

2n-1

2n-1

，①

1

2

Tn=

1

2

+

3

22

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

，②
①-②得

1

2

Tn=1+1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

-

2n-1

2n

=

2(1-( 1 2 )n)

1- 1 2

-1-

2n-1

2n

=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n

，
∴Tn=6-

2n+3

2n-1

（3）∵Sn=

1

4

(an+1)2=

1

4

(2n-1+1)2=n²，
當n≥2，

1

Sn

=

1

n2

＜

1

n2-1

=

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)，
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1+

1

22

+

1

2

[(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-2

-

1

n

)+(

1

n-1

-

1

n+1

)]
=1+

1

4

+

1

2

(

1

2

+

1

3

-

1

n

-

1

n+1

)＜1+

1

4

+

1

2

(

1

2

+

1

3

)=1+

1

4

+

1

4

+

1

6

=

5

3

．