Question

已知直線l：（m+2）x+（2m-3）y+（7-14m）=0與圓C：x²+y²-6x-8y+21=0
（1）求證：對于任意實數m，l與圓C恒有兩個交點A，B
（2）當AB最小時，求l的方程．

Answer 1

分析：（1）將直線l方程變形，根據題意求出x與y的值，確定出直線恒過點M坐標，將圓方程化為標準方程，找出圓心C坐標與半徑r，求出|MN|的長，與半徑比較大小即可得證；
（2）過圓內一點的所有弦中，以直徑為最長，以垂直于直徑的弦長最小，求出直線MC的斜率，找出直線AB的斜率，表示出直線l方程即可．

解答：解：（1）直線系l：（m+2）x+（2m-3）y+（7-14m）=0，可以化成（2x-3y+7）+m（x+2y-14）=0，
∵方程組2x-3y+7=0；x+2y-14=0有解x=4；y=5，
∴l中的每一條都經過點M（4，5），
圓C：（x-3）²+（y-4）²=4的圓心是N（3，4），半徑是r=2，
∵|MN|²=（4-3）²+（5-4）²=2＜4=r²，
∴點M在圓C內，
則過M的每一條直線都與圓相交，并且交于不同的兩點A，B；
（2）過圓內一點的所有弦中，以直徑為最長，以垂直于直徑的弦長最小，
此時k_MC=

5-4

4-3

=1，∴k_AB=-1，
∴直線l方程為y-5=-（x-4），即x+y-9=0，
則|AB|最小時，直線方程是x+y-9=0．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：恒過定點的直線方程，圓的標準方程，兩點間的距離公式，以及直線的點斜式方程，是一道綜合性較強的試題．