Question

在正四面體S-ABC中，E為SA的中點，F為△ABC的中心，則直線EF與平面ABC所成的角的大小為（　　）

• A．arccos

  1

  3

• B．45°
• C．arctan

  2

• D．arctan

  2

  2

Answer 1

分析：要求直線EF與平面ABC所成的角的大小則根據線面角的定義需過點E向面ABC作垂線而垂足落在哪是關鍵，由于正四面體S-ABC中，E為SA的中點故可根據正四面體的對稱性可連接SF，則SF⊥平面ABC且取線段AF的中點G，連接EG則根據中位線定理可得EG∥SF即EG⊥平面ABC則點G即為點E在面ABC上的垂足故∠EFG即為EF與平面ABC所成的角然后再通過解RT△EGF求出∠EFG即可．

解答：解析：連接SF，則SF⊥平面ABC．連接AF并延長交BC于H，取線段AF的中點G，連接EG，由E為SA的中點，則EG∥SF，
∴EG⊥平面ABC，
∴∠EFG即為EF與平面ABC所成的角．
設正四面體的邊長為a，則AH=

3

2

a，且AF=

2

3

AH=

3

3

a；
在Rt△AGE中，AE=

a

2

，AG=

1

2

AF=

3

6

a，∠EGA=90°，
∴EG=

AE2-AG2

=

6

6

a．
在Rt△EGF中，FG=

1

2

AF=

3

6

a，EG=

6

6

a，∠EGF=90°，
∴tan∠EFG=

EG

FG

=

2

，
∴∠EFG=arctan

2

，即EF與平面ABC所成的角為arctan

2

，
故選C．

點評：本題主要考察了線面角的求解，屬常考題，較難．解題的關鍵是利用線面角的定義做出線面角但再作線面角時過點E向面ABC作垂線而垂足在哪成為解決問題的關鍵這需利用正四面體的對稱性和中位線定理來過渡！